Soviet Physics . Doklady 12, 1040.1041 (May, 1968). Reprinted with the kind 


General Relativity and Gravitation, Vol. 32, No. 2, 2000

Vacuum Quantum Fluctuations in Curved Space 
and the Theory of Gravitation† 

Academician A. D. Sakharov 

Translated from Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 177, No. 1, 
pp. 70.71, November 1967. Original article submitted August 28, 1967. 

In Einstein’s theory of gravitation one postulates that the action of space-
time depends on the curvature (R is the invariant of the Ricci tensor): 

アインシュタインの重力理論において、時空の作用が以下の式で示す曲率(Rはリッチテンソルの不変量)に依存するという仮定がある。


S(R)= . 
1  (dx)√.gR. (1)

16πG 

The presence of the action (1) leads to a “metrical elasticity” of space, 
i.e., to generalized forces which oppose the curving of space. 

作用(1)の存在は、空間の計量弾性(つまり空間のカーブに抵抗する一般化された力に)に結びつく。

Here we consider the hypothesis which identifies the action (1) with 
the change in the action of quantum fluctuations of the vacuum if space 
is curved. Thus, we consider the metrical elasticity of space as a sort of 
level displacement effect (cf. also [1a]).1 

ここで、私たちは、空間が曲げられる場合、作用(1)を真空の量子ゆらぎの作用の変化と同一視する仮説を考慮します。
したがって、私たちは、空間の計量弾性を一種のレベル転位効果(参照、[1a])と見なします。

In present-day quantum field theory it is assumed that the energy momentum tensor of the quantum fluctuations of the vacuum Tik(0) and the corresponding action S(0), formally proportional to a divergent integral 
of the fourth power over the momenta of the virtual particles of the form 
k3dk, are actually equal to zero. 


現代の量子場理論では、量子真空ゆらぎTik(0)のエネルギー・運動量テンソルおよび対応する作用S(0)(形式k3dkの仮想粒子の運動量の4乗の積分の発散に比例する)が0に等しいと仮定されています。


Recently Ya. B. Zel’dovich [2] suggested that gravitational interactions could lead to a “small” disturbance of this equilibrium and thus to a finite value of Einstein’s cosmological constant, in agreement with the 
recent interpretation of the astrophysical data. 

最近Ya.B.Zel'dovich[2]は、天体物理学のデータの最近の解釈を受けて、重力の相互作用がこの等式の「小さな」破れに結びつき、したがってアインシュタインの宇宙定数の有限の値に結びつくかもしれないと示唆しました。

Here we are interested in 
the dependence of the action of the quantum fluctuations on the curvature 
of space.

ここで、私たちは、空間の湾曲における、量子ゆらぎの作用の依存に興味を持っています。

 Expanding the density of the Lagrange function in a series in 
powers of the curvature, we have (A and B .1) 

屈曲の力でのシリーズ中のラグランジュ関数の密度を拡張ました。ここでA,Bを約1と仮定してます。

L (R)= L (0) + A  kdk R + B  dk 
R2 + (2)・k ・・・ 

The first term corresponds to Einstein’s cosmological constant. 

最初の項はアインシュタインの宇宙定数に相当します。

The second term, according to our hypothesis, corresponds to the 
action (1), i.e., 

第2の項は、私たちの仮説によれば、作用(1)に相当します、つまり、

1 

G = .  
,A .1. (3)

16πA kdk 

The third term in the expansion, written here in a provisional form, 
leads to corrections, non-linear in R, to Einstein’s equations.2 

臨時の形式でここで書かれた拡張および修正への鉛板での第3の用語、アインシュタインのequations.2へのRにおいて非線形

The divergent integrals over the momenta of the virtual particles in (2) 
and (3) are written down from dimensional considerations. Knowing the 
numerical value of the gravitational constant G, we find that the effective 
integration limit in (3) is 

k0 .1028eV .10+33cm.1 . 

(2)と(3)の中の仮想粒子のmomentaの上の分岐する積分は、次元の考察から書かれています。重力加速度Gの数の値および私たちが(3)にそれが有効な統合限界と分かることを知ることはそうです。k0.1028eV.10+33cm.1。


In a gravitational system of units G =￣h = c = 1. In this case k0 .1. 
According to the suggestion of M. A. Markov, the quantity k0 determines 
the mass of the heaviest particles existing in nature and which are called 
“maximons” by him. It is natural to suppose also that the quantitiy k0 

ユニットG=￣h=c=の重力のシステムで、1.この場合k0.1.。M.A.マルコフの提案によれば、量k0は、自然界において既存の最も重い粒子の大部分を決定します、そしてそれは彼によって「maximous」と呼ばれます。さらにそれを推測することは自然です、quantitiy k0

Amore accurate form of this term is 

dk 

{BR2 + CRikRik + DRiklmRiklm + ERiklmRilkm}

この用語の正確な形式がそうであるAmoredk{BR2+CRikRik+DRiklmRiklm+ERiklmRilkm}


k 

(A, B, C, D, E . 1). 

According to [3,4]  dk . 137, so that the third term is important for R . 1/137 

k 

(in gravitational units), i.e., in the neighborhood of the singular point in Friedmann’s 
model of the universe. 

によって[3、4]dk、137、その結果、第3の用語はRにとって重要です。1/137k(重力のユニットで)、つまり、Friedmannの宇宙のモデル中の特異点の直前の中で。


Vacuum Quantum Fluctuations in Curved Space determines the limit of applicability of present-day notions of space and causality. 

曲がったスペースの真空定量変動は、スペースと因果関係についての現代の概念の適用可能性の限界を決定します。


Consideration of the density of the vacuum Lagrange function in a simplified “model” of the theory for noninteracting free fields with particles M . k0 shows that for fixed ratios of the masses of real particles and “ghost” particles (i.e., hypothetical particles which give an opposite contribution to that of the real particles to the R dependent action) a finite change of action arises that is proportional to M2R and which we identify with R/G. Thus, the magnitude of the gravitational interaction is determined by the masses and equations of motion of free particles, and also, probably, by the “momentum cut-off.” 

粒子Mを備えた対話しない自由なフィールド用の理論の単純化された「モデル」中の真空ラグランジュの機能の密度の考察。k0は、実際の粒子、および「ゴースト」粒子(つまりR相互依存作用への実際の粒子のそれに反対の寄付を与える、仮説の粒子)の多量の固定比率については、M2Rに比例し、私たちがR/Gと同一視する、アクションの有限の変更が発生することを示します。したがって、重力の相互作用の大きさは、単体粒子の多量および運動方程式、およびさらに恐らく「勢い近道」によって決定されます。

This approach to the theory of gravitation is analogous to the discussion of quantum electrodynamics in [3], where the possibility is mentioned of neglecting the Lagrangian of the free electromagnetic field for the calculation of the renomalization of the elementary electric charge.

可能性が、電気素量のrenomalizationの計算用の自由な電磁界のラグランジュ関数を怠ることに言及される場合、重力に関する理論へのこのアプローチは、[3]つごとの量子電気力学の議論と類似しています。

In the paper of L. D. Landau and I. Ya. Pomeranchuk the magnitude of the elementary charge is expressed in terms of the masses of the particles and the momentum cut-off: For a further development of these ideas see [4], in which the possibility is established of formulating the equations of quantum electrodynamics without the “bare” Lagrangian of the free electromagnetic field. 

L.D.ランダウおよびI.Yaの論文の中で。基本のチャージの大きさが表現されるPomeranchuk、粒子および勢い近道の多量:これらの考えの一層の開発のために[4](どれに自由な電?･界の「露出した」ラグランジュ関数のない量子電気力学の方程式の公式化に、可能性は確立される)を見ます。

The author expresses his gratitude to Ya. B. Zel’dovich for the discussion which acted as a spur for the present paper, for making him acquainted with the papers [2,4] before their publication, and for helpful advice. 

著者は、ヤーに対する謝意を表します。彼になるために、現在の論文に対する刺激の役割をした議論用のB.Zel'dovichは、それらの出版の前に、および有用な助言のために書類を[2および4]に紹介しました。



REFERENCES 

1a. E. M. Lifshitz, Zh. Eksp. Teor. Fiz. ´ 29, 94 (1954) [Sov. Phys. . JETP 2, 73 (1954)]. 
1b. H. B. C. Casimir, Proc. Nederl. Akad. Wetensch. 60, 793 (1948). 
´ 

2. Ya. B. Zel’dovich, ZhETF Pis. Red. 6, 922 (1967) [JETP Lett. 6, 345 (1967)]. 
3a. E. S. Fradkin, Dokl. Akad. Nauk SSSR 98, 47 (1954). 
3b. E. S. Fradkin, Dokl. Akad. Nauk SSSR 100, 897 (1955). 
3c. L. D. Landau and I. Ya. Pomeranchuk, Dokl. Akad. Nauk SSSR 102 489 (1955). 
´ 

4. Ya. B. Zel’dovich, ZhETF Pis. Red. 6, 1233 (1967).